Invariantes y Problemas de Olimpiadas José Heber Nieto Said

Invariantes y Problemas de Olimpiadas 

José Heber Nieto Said (jhnieto@gmail.com) 

Universidad del Zulia, Maracaibo, Venezuela. 

Resumen 

Un invariante es una función I, cuyo dominio es el conjunto de los estados de un sistema, tal que si existe una transición válida del estado E1 al etado E2, entonces I(E1) = I(E2). En este artículo se analizan varios ejemplos que muestran la utilidad de este concepto para la resolución de problemas matemáticos de tipo olímpico. 

Palabras y frases clave: invariante, sistema, olimpiadas matemáticas, resolución de problemas. 

1. Introducción 

Un sistema es un conjunto de elementos interrelacionados, que forman un todo complejo y organizado. Vivimos rodeados de sistemas: el universo, la Tierra, un océano, cada ser vivo, una célula, un átomo son ejemplos de sistemas. Un sistema está en cada momento en un estado determinado, que suele ser descripto mediante los valores de ciertos parámetros.
Por ejemplo, un gas puede ser descripto especificando el volumen V que ocupa, su presión P, su temperatura T y su masa. Los sistemas son por lo general dinámicos, su estado cambia con el tiempo.

¿Cómo se puede, entonces, alcanzar algún conocimiento sobre ellos? 

Bueno, una de las formas en que la ciencia lo logra es buscando características que se mantengan invariables a lo largo del tiempo, generalmente bajo la forma de relaciones entre los parámetros. 
A esas características se les llama invariantes del sistema.

En el ejemplo del gas, una conocida ley física dice que P V = nRT (donde n es la masa en moles y R una constante).
Esta ley puede expresarse diciendo que P V /(nT ) es un invariante.

 En lo que sigue consideraremos sistemas discretos, en los cuales el conjunto de estados posibles E = {E1, E2, E3, . . . } es finito o numerable y el tiempo no es continuo, sino más bien una sucesión de instantes. En cada instante hay un conjunto de transiciones válidas Ei → Ej que representan los cambios de estado posibles. Un juego como el ajedrez es un buen ejemplo: un estado queda determinado por la posición de las fichas en el tablero, a quien le toca jugar y alguna información adicional sobre las jugadas previas. Las transiciones válidas corresponden a las jugadas posibles en cada estado, según las reglas del juego. Se dice que un estado B es accesible desde otro estado A si existen una o más transiciones válidas que lleven el sistema desde A hasta B, es decir si existe un conjunto de estados A = E0, E1,. . . , En−1, En = B y transiciones válidas E0 → E1, E1 → E2,. . . , En−1 → En. 

Un problema típico es el de saber si un estado B es accesible o no desde otro estado A. Para probar que lo es, basta hallar una sucesión de transiciones que nos lleve de A a B. Pero probar la inaccesibilidad suele ser más difícil. Un enfoque exhaustivo (examinar todas las sucesiones de transiciones posibles) puede ser prohibitivo por el tiempo requerido.
En estos casos suele ser útil la noción de invariante, que definiremos como una función I : E → X, donde E es el conjunto de estados del sistema y X un conjunto cualquiera, tal que para cada transición válida E1 → E2 se cumple I(E1) = I(E2). Si I es un invariante y B es accesible desde A, entonces por transitividad I(A) = I(B). Por lo tanto si I(A) 6= I(B) entonces B no es accesible desde A (ni A desde B). Lamentablemente, de la igualdad I(A) = I(B) no se puede deducir, en general, la accesibilidad. 

2. Algunos ejemplos sencillos 

Ejemplo 1. 

Suponga que en una pizarra se escriben los números naturales del 1 al 100. A continuación se escogen dos de esos números a y b, se borran y se escribe en la pizarra el valor de la suma a + b. Se continúa de este modo hasta que quede un sólo número en la pizarra. ¿Cuál es ese número? 

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