El razonamiento común: un obstáculo epistemológico en geometría

Revista de Pedagogía

versión impresa ISSN 0798-9792

Rev. Ped v.24 n.69 Caracas ene. 2003

 

El razonamiento común: un obstáculo epistemológico en geometría

Common sense reasoning: an epistemological obstacle in geometry

Héctor BOHÓRQUEZ

Ana Ismenia HERNÁNDEZ de RINCÓN

Departamento de Matemática, Facultad de Ingeniería

Universidad del Zulia

Maracaibo

hectorpuntocom@cantv.net

anaismenia@telcel.net.ve

RESUMEN

Un obstáculo epistemológico es un conocimiento o una concepción generalizada en una comunidad o incluso una cultura que, habiendo producido respuestas apropiadas dentro de un cierto dominio, genera respuestas falsas fuera de él, resiste tanto contradicciones ocasionales como el establecimiento de un nuevo conocimiento y aun reconocida su inexactitud, continúa aflorando intempestivamente. En este artículo se propone y analiza el obstáculo del razonamiento común, esto es, la constitución del razonamiento utilizado en la interacción social diaria como obstáculo para el razonamiento lógico deductivo en geometría y por tanto para su aprendizaje. El estudio se basó en los postulados teóricos de Bachelard, Brousseau y Sierpinska. La metodología empleada fue no experimental, transversal y descriptiva. La población estuvo conformada por 979 alumnos de la cátedra de Geometría de la Facultad de Ingeniería de la Universidad del Zulia; la muestra, por 31 alumnos. Las técnicas de recolección de información fueron la observación indirecta y externa, y la entrevista semiestructurada individual. Se utilizó un cuestionario de 16 ítems y una hoja de registro para la entrevista. Se concluyó que se evidenció la presencia del obstáculo y su carácter epistemológico. Se recomendó identificar su origen y diseñar situaciones didácticas para su superación.

Palabras clave: Obstáculo epistemológico, concepciones de los alumnos, razonamiento, enseñanza de la geometría, educación superior.

ABSTRACT

An epistemological obstacle is a type of knowledge or generalized conception within a community or even a culture which, although proven useful within a specific domain, generates wrong answers outside it. At the same time, it is resilient to eventual contradictions or anomalies and, despite its demonstrated falseness, it tends to reappear. This paper addresses the issue of common sense reasoning as an epistemological obstacle. This is done by analyzing the composition of the type of reasoning used in daily interactions in terms of its becoming an obstacle to logical deductive reasoning in the field of geometry and, as a consequence, in the learning of geometry. Theoretically, the analysis is based on ideas by Bachelard, Brousseau, and Sierpinska. The methodology used was non experimental, transversal and descriptive, the population is represented by 979 university students from western Venezuela and the sample by 31 students. The data-gathering techniques were indirect and external observation using a questionnaire of 16 items, and a semi-structured individual interview. As a result, it was evidenced the existence of the above mentioned obstacle and its epistemological nature. The identification of its origin and the design of didactical situations for its overcoming are recommended.

Key words: Epistemological obstacle, preconceptions, student reasoning, geometry teaching, higher education.

1. INTRODUCCIÓN

Una de las causas estudiadas con interés a nivel mundial en los últimos veinte o más años para explicar las dificultades de los alumnos en el estudio de la matemática es la presencia de obstáculos que, en esencia, consisten en viejos conocimientos o concepciones adquiridos por aquéllos, útiles dentro de un cierto dominio durante algún tiempo, pero que en un momento dado se revelan contradictorios, inadaptados, falsos, ante un nuevo conocimiento que se desea aprender, obrando en consecuencia como un verdadero obstáculo que impide adquirirlo. Si bien tales contradicciones pueden ser particulares de algunos pocos individuos, se dice que estamos en presencia de un obstáculo epistemológico cuando el mismo se encuentra más generalizado, extendiéndose dentro de una comunidad o incluso toda una cultura.

A los alumnos que cursan geometría en el primer semestre de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia (LUZ) se les exige utilizar rigurosamente el razonamiento deductivo, efectuar demostraciones geométricas muy detalladas, deducir ecuaciones, colocándoseles ante situaciones en donde la memorización juega un papel absolutamente secundario, y esto es algo a lo que ellos no están acostumbrados, les causa impacto y la mayoría no logra superarlo, manifestándose desconcertada al descubrir que ciertos modos de razonamiento que utilizan a diario, en situaciones cotidianas de su interacción social, resultan errados en el dominio matemático en general y geométrico en particular. Lo anterior, observado reiteradamente a lo largo de la experiencia docente de los autores, condujo a la convicción de que, en muchos casos, actúa como un obstáculo para el aprendizaje de la geometría la concepción de que el empleo del razonamiento común es válido en matemática. No obstante, era necesario investigar hasta qué punto tal concepción se encontraba generalizada dentro de la población de estudiantes para poder caracterizarlo o no como un auténtico obstáculo epistemológico. En tal sentido se planteó la siguiente interrogante: ¿Constituye el razonamiento común un obstáculo epistemológico para el aprendizaje de la geometría presente en los alumnos que participan en situaciones de enseñanza–aprendizaje en la cátedra de Geometría de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia?

Objetivo general

Analizar si el razonamiento común constituye un obstáculo epistemológico en alumnos que participan en situaciones de enseñanza–aprendizaje en la cátedra de Geometría de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia.

Objetivos específicos

• Caracterizar el obstáculo del razonamiento común para el aprendizaje de la geometría. 
• Medir el obstáculo del razonamiento común presente en alumnos que participan en situaciones de enseñanza–aprendizaje en la cátedra de Geometría de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia. 
• Determinar el carácter epistemológico del obstáculo del razonamiento común presente en alumnos que participan en situaciones de enseñanza–aprendizaje en la cátedra de Geometría de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia.

2. MARCO TEÓRICO GENERAL

El término obstáculo epistemológico fue utilizado por primera vez por el filósofo francés Gaston Bachelard (1884-1962) referido al dominio de las ciencias experimentales en general y de la Física en particular. El concepto clave para Bachelard era el de la ruptura, que tiene cuatro aspectos o categorías epistemológicas: quiebres, obstáculos, perfiles y actos (Gutting, 1989, citado por Marshall, 1999). Los quiebres tienen que ver con (i) cómo la ciencia se separa del sentido común al formular sus conceptos y con (ii) los quiebres entre conceptos científicos. A los quiebres, a su vez, se les oponen los obstáculos, los cuales pueden definirse —señala Marshall— como residuos de conceptos anteriores que, especialmente si fueron importantes en el pasado, tienden a bloquear los cambios hacia los nuevos conceptos.

Para Bachelard, el conocimiento de lo real es una luz que siempre proyecta sombra, pues lo que cree saberse muchas veces vela lo que debía saberse, por lo que se conoce en contra de un conocimiento anterior, destruyendo conocimientos mal adquiridos o superando aquellos que obstaculizan la espiritualización (Buttó y Pérez, 2000).

Guy Brousseau retoma la noción de obstáculo epistemológico, que Bachelard suponía confinada a las ciencias experimentales, y lo transpone dentro de la Didáctica de la Matemática en su Teoría de las Situaciones Didácticas, desarrollada a partir de 1970 (Brousseau, 1997). De acuerdo a esta teoría, el alumno aprende por medio de su adaptación a un medio que genera contradicciones, dificultades y desequilibrios, tal y como ocurre en la sociedad. Este conocimiento, es decir el resultado de la adaptación del alumno, se manifiesta a través de nuevas respuestas que evidencian el aprendizaje. La tarea del profesor es entonces organizar dicho entorno de tal forma que la adaptación resulte en el desarrollo por parte del alumno del conocimiento deseado. Según la teoría de Brousseau, el aprendizaje en matemática se adquiere a través de saltos y no de forma continua y son precisamente los obstáculos quienes se oponen a tales saltos (Sierpinska, 1992). Los alumnos tienen unas concepciones iniciales y el propósito de la enseñanza es que se generen unas concepciones resultantes, para lo cual se requiere de un proceso didáctico, en cuyo diseño y control está la esencia del problema, lo cual se logra a través de problemas que se desarrollan dentro de un contexto social, cuyas reglas (implícitas y explícitas) constituyen lo que él denomina contrato didáctico. En esta interacción tienen lugar diversas situaciones didácticas y es a través de ellas que se valida la solución del problema y se construye el conocimiento personal del alumno, que puede tener carácter de herramienta o de conocimiento que debe ser retenido, en cuyo caso se hace necesaria su institucionalización dentro de un proceso de evolución hacia el conocimiento cultural (Balacheff, 1990, citado por Sierpinska, 1999).

Un obstáculo, señala Brousseau (1997), se manifiesta por errores, pero errores que no son debidos al azar, sino que son reproducibles y persistentes. Además, los errores cometidos por el mismo sujeto están interconectados por una fuente común: una manera de conocer, una concepción característica, coherente si no correcta, un "conocimiento" antiguo que ha sido exitoso en todo un dominio de acciones. Estos errores no son necesariamente explicables. Ocurre que no desaparecen completamente de una sola vez; se resisten, persisten, luego reaparecen, se manifiestan mucho tiempo después de que el sujeto ha rechazado el modelo defectuoso de su sistema cognitivo consciente. El obstáculo es de la misma naturaleza del conocimiento, con objetos, relaciones, métodos de aprehensión, predicciones, con evidencias, consecuencias olvidadas, ramificaciones imprevistas, etc. Resistirá el rechazo e intentará adaptarse localmente, modificarse al menor costo, optimarse en un campo reducido, siguiendo un proceso bien conocido de acomodación.

Los obstáculos pueden ser de diverso origen, distinguiéndose según Brousseau (1997) principalmente los siguientes: ontogenético, didáctico y epistemológico. Los obstáculos de origen ontogenético se derivan de las limitaciones del alumno —neurofisiológicas, entre otras— asociadas con el momento de su desarrollo, en virtud de que cada uno genera conocimientos apropiados para sus habilidades y metas a una edad particular. Los obstáculos de origen didáctico son aquellos que se generan producto de una elección didáctica dentro de un proyecto o sistema educativo.

Por su parte, los obstáculos epistemológicos tienen su origen en los conceptos que se estudian y se encuentran presentes de forma generalizada en toda una comunidad. En este sentido, Sierpinska (1992) explica que la oposición ejercida por los obstáculos al aprendizaje puede ocurrir a nivel de cada individuo, y dichos obstáculos o las dificultades que generan pueden en algunos casos ser muy particulares. No obstante, añade, la caracterización de un obstáculo como epistemológico está vinculada al significado de los conceptos mismos, no son simples resultados de formas particulares de su enseñanza, ni idiosincrásicos, ni algo que ocurre a una persona o dos; si el obstáculo no es sólo nuestro o tal vez de otras dos personas —puntualiza finalmente la autora— sino que está más extendido, o se ha extendido alguna vez en alguna cultura, es entonces llamado obstáculo epistemológico.

3. CARACTERIZACIÓN DE LA VARIABLE ESTUDIADA: OBSTÁCULO DEL RAZONAMIENTO COMÚN

En este aparte se detallan las características del obstáculo en estudio, que se corresponde con la concepción observada con frecuencia en los alumnos y que puede resumirse en la frase

"El razonamiento común es válido en matemática"

La forma como las personas razonan en sus actividades diarias es contraria, en muchos casos, a la forma de razonamiento en matemática y conduce a innumerables errores que se manifiestan de dos maneras, equivalentes desde el punto de vista lógico:

• considerar válido el recíproco de una implicación basándose meramente en la validez de su forma directa, es decir, deducir la veracidad del antecedente basándose en la del consecuente: 

• considerar valido el contrario de una implicación, esto es, deducir la negación del consecuente con base en la negación del antecedente:   

En este sentido, se consiguen en los alumnos, con mucha frecuencia, razonamientos como el siguiente: "Como los ángulos a y b son suplementarios, entonces son adyacentes". En muchos casos los alumnos probablemente no redactarían una proposición como la mostrada; sin embargo, es evidente que íntimamente razonan de esa forma cuando en un ejercicio se les da como hipótesis que dos ángulos son suplementarios e inmediatamente los dibujan como adyacentes, quedando manifiesta la concepción de que los términos "adyacentes" y "suplementarios" son equivalentes, es decir, una suerte de sinónimos.

Un ejemplo que ilustra la segunda forma inválida de razonamiento es el siguiente: "Si un punto no es punto medio de un segmento, entonces no equidista de sus extremos" que por supuesto equivale a afirmar que si un punto equidista de los extremos de un segmento entonces tal punto es necesariamente su punto medio, excluyendo por tanto el resto de los puntos de la mediatriz de dicho segmento.

Es común conseguirse ante situaciones como éstas o similares. Pero ¿por qué razonan los alumnos de esa manera? Una postura muy frecuente es la de descalificar a los alumnos y afirmar en forma simplista que "no saben razonar". Sin embargo, el problema no es tan sencillo. Los alumnos sí saben razonar, pero saben hacerlo como lo han aprendido, como se les ha enseñado, saben razonar como se hace en el día a día de sus actividades y seguramente dentro de ese contexto se desenvuelven correctamente. El problema radica en que esa forma cotidiana de razonar en muchas ocasiones está reñida con la forma de razonar en matemática, basada como sabemos en la lógica formal. Pero el alumno no está al tanto de esto. Él tiene la concepción de que su forma de razonar, que tantos resultados positivos le ha dado en su interacción social, es universalmente válida y que no existe por tanto ninguna otra. Y es precisamente tal concepción, tan fuertemente arraigada por el refuerzo a que a diario es sometida, la que se constituye en obstáculo para razonar correctamente en el contexto matemático.

Si a un grupo de alumnos se le plantea la siguiente proposición: "Si una persona nace en Maracaibo, entonces es venezolana" e inmediatamente se le sugiere: "Alicia es venezolana, ¿podemos concluir que es maracaibera?" responderán al unísono que no. No obstante, cuando se les hace el siguiente planteamiento: "Pedro afirmó que si se ganaba el Kino con 15 aciertos viajaría a Europa" y luego se les pregunta: "Suponiendo que no mintió, ¿qué podemos concluir si Pedro viaja a Europa?" responden igualmente casi al unísono "Que se sacó el Kino con 15 aciertos". O si se les pregunta: "¿Qué podemos concluir si Pedro no se saca el Kino con 15 aciertos?" responderán en su inmensa mayoría "Que no viajará a Europa".

Desde el punto de vista de su estructura lógica, ambas proposiciones son iguales —una implicación que es verdadera en su forma directa: "Si una persona nace en Maracaibo, entonces es venezolana" / "Si Pedro se gana el Kino con 15 aciertos viajará a Europa". Estrictamente con base en tales proposiciones no es posible afirmar la validez del recíproco ni del contrario en ninguno de los dos casos. No obstante, el común de las personas, y por tanto los alumnos, están conscientes de esto en la primera proposición, pero no en la segunda. La diferencia está en que, para el primer caso, el alumno conoce de antemano la existencia de otras posibilidades que conducen por igual al consecuente: una persona puede nacer en Barquisimeto y ser igualmente venezolana. Sin embargo, para el segundo caso, el alumno ignora si existen o no otras posibilidades —pues Pedro ha mencionado sólo una— y eso lo lleva a presumir que tales posibilidades no existen —cosa que sin embargo Pedro no ha dicho—. Es decir, el ignorar la existencia o no de otras posibilidades lo conduce a concluir que no existen. Pero, nuevamente, no es el alumno el culpable de tal confusión. Es justamente en esa forma que generalmente se razona en la interacción social de todos los días. Cuando se está al tanto de sólo una posibilidad automáticamente se supone que es la única posibilidad convirtiendo en consecuencia el "si" condicional en un "si y sólo si", haciendo por tanto válido el recíproco y el contrario de la implicación.

Es posible también que tal concepción esté relacionada con otros tipos de errores, como el que se observa en los estudiantes al utilizar en sus demostraciones, como argumento en su desarrollo o incluso partiendo de ella, la tesis del ejercicio, y se da el caso incluso de algunos que, al pretender resolver un problema por reducción al absurdo, parten de la negación de la hipótesis y no de la negación de la tesis. Puede encontrarse una razonable vinculación entre tales acciones, acaso en principio incomprensibles y desconcertantes, y el obstáculo del razonamiento común. Si, al fin y al cabo, de acuerdo a la concepción del alumno, son siempre válidos tanto el directo como el recíproco de una implicación, ¿qué problema habría en comenzar la demostración por un "extremo" o por el otro?

Variable estudiada

Obstáculo del razonamiento común.

Definición conceptual

Es una concepción presente de forma generalizada en los individuos de una comunidad, caracterizada por considerar como válida dentro de la matemática la forma común de razonamiento, en general pertinente dentro del ámbito social cotidiano, pero que se opone, cuando intentan aprender geometría mediante la interacción con un determinado medio, a la adquisición de un nuevo conocimiento geométrico.

Definición operacional

El obstáculo del razonamiento común es aquel que se manifiesta a través de errores vinculados a concepciones previas en cuanto al razonamiento del alumno, en la solución de problemas relacionados con la geometría, cuando el sujeto se muestra de acuerdo con validar sin justificación el recíproco de una proposición o validar sin justificación el contrario de una proposición.

Indicadores

1. Validar sin justificación el recíproco de una implicación.
2. Validar sin justificación el contrario de una implicación.

4. METODOLOGÍA

La investigación buscó determinar la presencia del obstáculo del razonamiento común en la comunidad de alumnos que cursan geometría en la Facultad de Ingeniería de LUZ, para luego analizarlo y determinar su carácter epistemológico. Con base en los criterios de Hernández et al. (1998), se trató de un estudio de tipo no–experimental, ya que no se pretendió manipular ni controlar variable alguna; transversal, pues las mediciones se hicieron en un semestre académico particular; y descriptivo, pues se observó, midió, describió y analizó la variable estudiada.

Población

Estuvo conformada por los alumnos cursantes de la asignatura Geometría del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ingeniería de LUZ, durante el II semestre de 2001. Su tamaño exacto fue de 979 alumnos con edades comprendidas entre 17 y 25 años, de sexo tanto femenino como masculino, 67% de nuevo ingreso y el resto repitientes, distribuidos en 27 secciones asignadas a 12 profesores de la cátedra.

Tamaño de la muestra

De acuerdo con los criterios dados por Hernández et al. (1998), se determinó en primer lugar el tamaño de la muestra sin ajuste (n’) y luego el tamaño ajustado de la muestra (n) mediante las ecuaciones:

;      

Donde: n’: tamaño de la muestra sin ajustar; V²: varianza de la población (el cuadrado del error estándar); S²:varianza de la muestra (producto de la probabilidad de ocurrencia del evento por la probabilidad de no ocurrencia); p: probabilidad de ocurrencia (se tomó p=0.5 por desconocerse a priori la probabilidad de ocurrencia del fenómeno); E: error estándar (se trabajó con un error E=10%); n: tamaño ajustado de la muestra; N: tamaño de la población.

Sustituyendo y operando se obtuvo: ; 

Selección de la muestra

Se efectuó un muestreo estratificado proporcional con reemplazo, para contar en la muestra con alumnos de los 12 docentes de la cátedra, de acuerdo a las pautas dadas por Hernández et al. (1998), Busot (1991) y Padua (1996). Por cuanto se previó la utilización de dos técnicas de recolección de información, aplicadas en momentos diferentes, lo cual conlleva la posibilidad de la muerte experimental de algunos sujetos de la muestra, para garantizar el número mínimo de alumnos en la muestra (24) se procedió a escoger uno adicional por cada estrato para un total de 36. Dentro de cada estrato se seleccionaron los sujetos en forma aleatoria.

Muestra definitiva

Durante el proceso de recolección de información ocurrió en efecto la muerte experimental de cinco (5) sujetos de los treinta y seis (36) originalmente escogidos, de modo que la muestra definitiva quedó conformada por 31 alumnos, distribuidos entre los profesores de la cátedra como indica el cuadro Nº 1.

Cuadro 1

Distribución definitiva de sujetos de la muestra por estrato

Estratos (Docentes)	Nº de sujetos		Estratos (Docentes)	Nº de sujetos
#01	4		#07	2
#02	4		#08	2
#03	3		#09	2
#04	3		#10	2
#05	3		#11	2
#06	2		#12	2

(TOTAL: 31 sujetos)

Técnicas de recolección de información

Para recabar la información requerida para esta investigación era necesario el empleo de técnicas que permitiesen no sólo medir los errores que los alumnos pudiesen cometer, sino también indagar acerca de cuáles eran las causas, las concepciones, los conocimientos previos que les habían conducido a los mismos. Se consideró apropiado por tanto el uso de dos técnicas de recolección de información que, de acuerdo a la tipología dada por Busot (1991), se describen de la siguiente manera: observación indirecta y externa, pues se utilizó un instrumento auxiliar sin participación del investigador; y entrevista de investigación semiestructurada individual, ya que su finalidad fue recabar información relacionada con las concepciones de los alumnos acerca del obstáculo examinado, el entrevistador anticipaba los tipos de preguntas que debía hacer, aunque no necesariamente las formulaba de la misma forma a todos los entrevistados, y se realizaba a cada sujeto por separado, condición fundamental para evitar la contaminación de las respuestas de unos con otros. Las dos técnicas empleadas se utilizaron una a continuación de la otra: en primer lugar se aplicaba el cuestionario a cada sujeto de la muestra y luego se le hacía la entrevista. Con la entrevista se perseguían básicamente dos objetivos: corroborar que las respuestas dadas en el cuestionario realmente se correspondiesen con la concepción del alumno y no a una confusión o impulso accidental al momento de responder el cuestionario, por una parte, y por la otra indagar las razones por las cuales el alumno respondía de una u otra forma, independientemente de si dicha respuesta era correcta o no.

Instrumentos

Se utilizaron dos instrumentos de medición: un cuestionario y una hoja de registro para las respuestas de la entrevista.

El cuadro Nº 2 muestra el cuestionario utilizado, el cual estuvo conformado por 16 preguntas de respuesta dicotómica —Verdadero (V) – Falso (F)— agrupadas en cuatro categorías o grupos de cuatro ítems cada uno, que buscaban constatar la presencia del obstáculo del razonamiento común.

Cuadro 2

Cuestionario

Cada uno de los apartes siguientes, del 1 al 4, plantea una afirmación que usted debe considerar cierta y con base en ella indicar si es verdadero (V) o falso (F), (encerrando en un círculo el símbolo correspondiente), que las proposiciones que le siguen pueden deducirse a partir de aquélla:       1. Andreína adquiere un cartón del Kino y afirma: "Si me gano el Kino con 15 aciertos, viajaré a Europa"
a) Si Andreína viaja a Europa, puede concluirse que se ganó el Kino con 15 aciertos	V	F
b) Si Andreína se gana el Kino con 15 aciertos, puede concluirse que no viajará a Europa	V	F
c) Si Andreína no se gana el Kino con 15 aciertos, puede concluirse que no viajará a Europa	V	F
d) Si Andreína no viaja a Europa, puede concluirse que se ganó el Kino con 15 aciertos	V	F
2. Un padre le dice a su pequeño hijo: "Si tu prima Amanda nace en Barquisimeto, será venezolana"
a) Si Amanda finalmente nace en Barquisimeto, se concluye que es venezolana	V	F
b) Si Amanda finalmente no nace en Barquisimeto, se concluye que no es venezolana	V	F
c) Si finalmente resulta que Amanda no es venezolana, se concluye que no pudo nacer en Barquisimeto	V	F
d) Si finalmente resulta que Amanda es venezolana, se concluye que nació en Barquisimeto	V	F
3. Un teorema de la Geometría es el siguiente: "Si un cuadrilátero es rombo, entonces sus diagonales son perpendiculares".
a) Si un cuadrilátero tiene sus diagonales perpendiculares, se trata entonces de un rombo	V	F
b) Las diagonales de algunos rombos no son perpendiculares	V	F
c) Si un cuadrilátero no es rombo, entonces sus diagonales no son perpendiculares	V	F
d) Si un cuadrilátero no tiene sus diagonales perpendiculares, entonces es un rombo	V	F
4. Considere la siguiente afirmación: "Si una figura geométrica es un vertígono entonces tiene dos arcos iguales".
a) Aun si ABCDE no tiene dos arcos iguales, podría ser un vertígono	V	F
b) Si ABCDE no es un vertígono, entonces no tiene dos arcos iguales	V	F
c) Si ABCDE tiene dos arcos iguales, entonces es un vertígono	V	F
d) Si ABCDE es un vertígono, entonces no tiene dos arcos iguales	V	F

Cada uno de los cuatro grupos de ítems presentaba una premisa con base en la cual se le planteaban al sujeto cuatro proposiciones para cada una de las cuales él debía catalogar como verdadero (V) o falso (F) si consideraba correcto o no el deducirlas a partir de dicha premisa.

De las 16 proposiciones, 6 buscaban indagar la posible presencia del obstáculo (ítems medidores), 6 se colocaron para mantener un cierto balance entre respuestas "falso" y "verdadero" (ítems distractores), mientras que los otros 4 ítems buscaban comprobar una de las características relevantes del obstáculo del razonamiento común: el alumno razona correctamente en situaciones que le son familiares.

Los 6 ítems medidores estaban distribuidos en los grupos 1, 3 y 4 (dos en cada uno) y aparecen subrayados en el Cuadro Nº 2 (ítems 1a, 1c, 3a, 3c, 4b, 4c). Tomando la premisa como proposición directa (), los ítems medidores eran de dos tipos: proposición recíproca (: ítems 1a, 3a, 4c) y proposición contraria (: ítems 1c, 3c, 4b), ninguna de las cuales puede deducirse a partir de la primera, con base en la lógica formal. En la medida en que los sujetos estuviesen de acuerdo con la validez de los ítems medidores, en esa misma medida se estaría manifestando la presencia del obstáculo.

Los 6 ítems distractores eran el resto de las proposiciones de los grupos 1, 3 y 4 (ítems 1b, 1d, 3b, 3d, 4a, 4d). Fueron colocados no para medir el obstáculo sino que su objetivo era básicamente el de lograr un balance adecuado entre respuestas "falso" y "verdadero". Si bien podría pensarse que ese balance era susceptible de ser obtenido modificando la redacción de algunos ítems medidores (para que no todos fuesen falsos) ello en realidad habría desvirtuado un tanto su estructura lógica. Así por ejemplo, el ítem medidor 1a quedó redactado de la siguiente forma: "Si Andreína viaja a Europa, puede concluirse que se ganó el Kino con 15 aciertos", que representa la proposición recíproca de la premisa "Si Andreína se gana el Kino con 15 aciertos, viajará a Europa". Si se intenta convertir dicho ítem en verdadero —obsérvese que su respuesta es F pues no puede deducirse de la premisa— habría que redactarlo de este modo: "Si Andreína viaja a Europa, no puede concluirse que se ganó el Kino con 15 aciertos", lo cual vendría a representar no el recíproco de la premisa sino la negación de ese recíproco, desvirtuando un poco, por una parte, lo que se quiere medir, que es si se está de acuerdo con la validación del recíproco —no si se está en desacuerdo con su negación— y complicando, por otra parte, la redacción de la pregunta. Los ítems distractores fueron redactados basados en implicaciones de evidente falsedad, aun bajo el esquema del razonamiento común: unos de la forma (ítems 1b, 3b, 4d) y otros de la forma (ítems 1d, 3d, 4a). De esta manera, a pesar de que todas los ítems de los grupos 1, 3 y 4 eran falsos, la sospechada presencia del obstáculo del razonamiento común habría de llevar muy probablemente a los alumnos a catalogar como falsos (F) sólo a los ítems distractores, mientras que los medidores serían respondidos como verdaderos (V), estableciéndose así un cierto equilibrio, desde el punto de vista del alumno, entre respuestas falsas y verdaderas.

El grupo 2 fue incluido no exactamente para medir al obstáculo sino para comprobar una de sus características relevantes, como lo es la de que el alumno incorrectamente valida el recíproco o el contrario de una proposición cuando desconoce o no tiene presente la existencia de otra condición (otro antecedente) que conduzca por igual a la misma conclusión (al consecuente). En este grupo la premisa "Si tu prima Amanda nace en Barquisimeto, será venezolana" se plantea en un contexto que el alumno conoce perfectamente. El alumno sabe de antemano la existencia de muchas otras opciones para que Amanda sea venezolana (nacer en Maracaibo, Mérida, etc.) y por lo tanto difícilmente validará el recíproco (ítem 2d: Si Amanda es venezolana entonces nació en Barquisimeto) o el contrario de la premisa (ítem 2b: Si Amanda no nació en Barquisimeto entonces no es venezolana). Los otros dos ítems de este grupo, de clara validez pues corresponden al directo (ítem 2a) y al contrarrecíproco (ítem 2c), se introdujeron buscando nuevamente equilibrio entre respuestas falsas y verdaderas.

Para efectos de medición del obstáculo fueron tomados en cuenta únicamente los ítems medidores (1a, 3a, 4c para el Indicador Nº 1; 1c, 3c, 4b para el Indicador Nº 2). Las respuestas de los sujetos fueron valoradas con uno (1) si eran incorrectas (pues apuntaban hacia la presencia del obstáculo) y con cero (0) si eran correctas.

El cuestionario empleado debía cumplir ciertas condiciones mínimas de calidad para garantizar el éxito de la investigación, por ello se le determinó su validez de contenido y su confiabilidad. Con base en las pautas dadas por Busot (1991), Hernández et al. (1998) y Chávez (1994) se sometió el cuestionario al juicio independiente de cinco expertos en el área de la Matemática y de Enseñanza de la Matemática, con títulos de Maestría en Matemática y/o Doctorado en Ciencias Humanas, quienes consideraron que no necesitaba cambios ni modificaciones. En relación con su confiabilidad, se utilizó la medida de estabilidad o confiabilidad por test–retest (Hernández et al., 1998). Se siguió el procedimiento descrito por McGuigan (1996) para determinar la confiabilidad estadística del coeficiente de correlación, el cual para las pruebas test y retest resultó estadísticamente confiable, lo que permitió concluir que el instrumento también lo era. Debe además destacarse que los resultados obtenidos de la aplicación del cuestionario fueron contrastados con los resultados obtenidos de la entrevista hecha a cada uno de los sujetos.

5. ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS

El análisis efectuado fue esencialmente cualitativo, sin descartar no obstante la utilidad brindada por el análisis cuantitativo. Interesa principalmente un análisis cualitativo pues lo relevante para la investigación es vincular las respuestas de los alumnos con sus concepciones en cuanto al razonamiento. Es indispensable, sin embargo, medir la frecuencia con la cual se presenta el obstáculo estudiado, pues en la medida en que se encuentra generalizado a la población, tal y como lo plantea Sierpinska (1992), podrá catalogarse como epistemológico, y será merecedor por tanto de mayor cuidado por parte de profesores y alumnos.

Para recabar y procesar la información que permitiese determinar en qué medida el obstáculo propuesto está presente en la muestra, se adoptaron ciertos criterios y se siguió un procedimiento que en términos generales a continuación se describe:

• Se aplicó el cuestionario a cada uno de los integrantes de la muestra y luego se les efectuó la entrevista, durante la cual, en relación con aquellas respuestas que pudieran dejar dudas en cuanto a si apuntaban o no hacia la presencia del obstáculo que buscaban medir, se indagó acerca de las concepciones que habían llevado al alumno a responder de una manera o de otra. 
• Las respuestas de la entrevista se utilizaron para contrastarlas con las del cuestionario, buscando determinar la concepción real del alumno sobre el tópico en cuestión. En este sentido se presentaron diversas situaciones. En la mayoría de los casos el alumno ratificó su respuesta y dio una explicación consistente con la misma (independientemente de que estuviese o no correcta). En otros casos, el alumno optó por cambiar su respuesta argumentando razones acordes con tal decisión. Y en otros casos el alumno manifestó explicaciones discordantes con la respuesta dada en el cuestionario, que realmente no la justificaban, pero que sin embargo dejaban clara su concepción, la cual, para efectos de la investigación, prevaleció frente a la respuesta del cuestionario. 
• Como resultado de lo anterior se determinó a continuación, siguiendo los criterios que más adelante se describen, si la concepción del alumno apuntaba hacia la presencia del obstáculo: primero para cada ítem; luego para cada indicador, con base en las valoraciones de los ítems; y finalmente para el obstáculo en general, de acuerdo a las valoraciones de los indicadores. 
• Se determinó así, en primer lugar, si la concepción evidenciada por el alumno para cada ítem apuntaba o no hacia la presencia del obstáculo según el indicador correspondiente, asignándole uno de dos posibles valores de acuerdo a los criterios mostrados en el cuadro Nº 3.

Cuadro 3

Criterios utilizados para valorar los ítems en cada alumno

CRITERIO	VALOR ASIGNADO
La concepción evidenciada por el alumno apunta hacia la presencia del obstáculo, de acuerdo al indicador en cuestión.	1
La concepción evidenciada por el alumno no apunta hacia la presencia del obstáculo, de acuerdo al indicador en cuestión.	0

• Una vez asignado a cada ítem, para cada alumno, su correspondiente valor de 1 ó 0, se procedió a asignarle a cada indicador un valor similar: 1, si apuntaba hacia la presencia del obstáculo; 0 si no lo hacía. Los criterios para asignar uno u otro valor se resumen en el cuadro Nº 4.

Cuadro 4

Criterios utilizados para valorar los indicadores en cada alumno

CRITERIO	VALOR ASIGNADO
El promedio de los ítems correspondientes es de al menos 0,5 (incidencia del 50% o mayor)	1
El promedio de los ítems correspondientes es menor que 0,5 (incidencia menor al 50%)	0

• Luego de asignar a cada indicador, para cada alumno, los valores respectivos, se determinaron finalmente los correspondientes al obstáculo estudiado, siguiendo criterios similares a los descritos para los indicadores, pero en este caso en función de los valores asignados previamente a los indicadores. En elcuadro Nº 5 se resumen tales criterios.

Cuadro 5

Criterios utilizados para valorar el obstáculo en cada alumno

CRITERIO	VALOR ASIGNADO
El promedio de los indicadores correspondientes es mayor o igual que 0,5 (incidencia del 50% o mayor)	1
El promedio de los indicadores correspondientes es menor que 0,5 (incidencia menor al 50%)	0

• Se determinaron por último, para cada indicador y para el obstáculo, los porcentajes de alumnos de la muestra que evidenciaban su presencia.

Resultados

Una vez aplicado el cuestionario y llevadas a cabo las entrevistas, se valoraron los 16 ítems para cada uno de los 31 alumnos de la muestra, procediéndose luego a valorar los dos indicadores y el obstáculo, también para cada alumno.

Valoración de los ítems

El cuadro Nº 6 muestra los resultados de la aplicación del cuestionario y de la entrevista para cada alumno. En dicho cuadro se muestran las valoraciones de cada respuesta de cada alumno y en la última columna la de cada ítem medidor, calculada como el porcentaje de respuestas incorrectas con respecto al total de respuestas (31).

Cuadro 6

Resultados de la aplicación del cuestionario y la entrevista (ítems medidores)

ITEM	ALUMNOS																															%
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
1A	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	1	1	1	1	0	81%
3A	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	97%
4C	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	90%
1C	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	0	1	0	1	1	0	1	1	0	77%
3C	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	97%
4B	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	94%
1: la respuesta apunta hacia la presencia del obstáculo; 0: la respuesta no apunta hacia la presencia del obstáculo

Para asignar a cada ítem de cada alumno la correspondiente valoración de 1 ó 0 se siguió el procedimiento general descrito. En particular, para este obstáculo, tomando en cuenta la cantidad y variedad del conjunto de ítems, cuando las respuestas apuntaban consistentemente hacia su presencia, no se solicitó al alumno que las justificara. En aquellos casos cuando sus respuestas mostraban alguna inconsistencia, se procedió a interrogar al alumno durante la entrevista, invitándolo a ratificarlas o no, de modo que no hubiesen dudas en cuanto a su manera de razonar para cada una de las situaciones que cada ítem planteaba. En estos casos se le solicitó al alumno que diera su justificación para tales respuestas y se anotaron en la hoja de registro. En este sentido, se presentaron dos tipos de situaciones: inconsistencias que fueron resueltas (a favor o en contra de la presencia del obstáculo) e inconsistencias que fueron ratificadas.

Así por ejemplo, para el Alumno #7, en referencia a los ítems 1a y 1c, aunque ambos fueron valorados finalmente con 1 (apuntando hacia la presencia del obstáculo), las respuestas originalmente presentaban una clara inconsistencia, pues el primero había sido respondido como V (respuesta incorrecta al presumir la validez del recíproco) y el segundo como F (respuesta correcta al negar la validez del contrario); sin embargo, durante la entrevista, el alumno releyó la pregunta y decidió cambiar la respuesta 1c de F a V (de correcta a incorrecta) argumentando: "Ahí dice que la única forma de viajar a Europa es que se gane el Kino", interpretando evidentemente el "si" de la proposición directa como "si y sólo si" lo cual lo lleva a validar automáticamente directo y recíproco.

No obstante, el Alumno #28 en referencia a los ítems 3a y 3c respondió correctamente (F) el ítem 3a e incorrectamente (V) el 3c, y durante la entrevista, sin embargo, ratificó ambas respuestas, argumentando muy acertadamente para el 3a que "no tiene el si y sólo si y me nombran el recíproco", pero ratificando su respuesta para el 3c, no percatándose de la equivalencia lógica entre ambos ítems ni de que en consecuencia ese mismo argumento servía para darse cuenta de que el 3c también era F. Aunque no con alta incidencia (7,5%), situaciones como la anterior se repitieron en otras ocasiones, de donde se infiere que algunos alumnos parecieran no estar al tanto de la equivalencia lógica entre una implicación y su contrarrecíproco ( y ) o, lo que es lo mismo, entre su contrario y su recíproco ( y ).

Valoración de los indicadores

El cuadro Nº 7 muestra los resultados calculados siguiendo los criterios descritos en el cuadro Nº 4. Así por ejemplo, para el Alumno #28, el Indicador Nº 1 fue valorado con 0 pues 2 de los tres 3 ítems que medían este indicador (ítems 1a, 3a, 4c) fueron valorados con 0, mientras que, para el mismo alumno, el Indicador Nº 2 fue valorado con 1 resultado de que 2 de sus 3 ítems medidores (1c, 3c, 4b) se evaluaron con 1 (ver cuadro Nº 6).

Cuadro 7

Valoración de los indicadores para cada alumno

Indicador	ALUMNOS																															%
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
1. Validar sin justificación el recíproco de una implicación	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1	90%
2. Validar sin justificación el contrario de una implicación	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	97%
1: el indicador apunta hacia la presencia del obstáculo; 0: el indicador no apunta hacia la presencia del obstáculo

Observando el cuadro Nº 7, se aprecia para el Indicador Nº 1 una incidencia del 90% dentro de los alumnos de la muestra; es decir, 9 de cada 10 alumnos consideraron válido el utilizar sin justificación alguna el recíproco de una implicación. Para el Indicador Nº 2, por su parte, se tiene una incidencia aun mayor (97%), resultado de que 30 de los 31 integrantes de la muestra estuvieron de acuerdo con la validez del contrario de una implicación basados únicamente en su forma directa. Este porcentaje ligeramente mayor se corresponde con lo explicado anteriormente, en el sentido de que no siempre el alumno está al tanto de la equivalencia entre el contrario y el recíproco de una implicación.

Valoración del obstáculo

En el cuadro Nº 8 se aprecia la incidencia del obstáculo para cada alumno. Las valoraciones se efectuaron de acuerdo a los criterios mostrados en el cuadro Nº 5 con base en los resultados que se aprecian en el cuadro Nº 7. Obsérvese que, por ejemplo, el Alumno #3 fue valorado con 0 (no se evidencia la presencia del obstáculo) pues ambos indicadores fueron valorados con 0; el Alumno #28, por su parte, aparece evaluado con 1 (acusando la presencia del obstáculo) en virtud de que uno de los dos indicadores fue valorado con 1, lo cual, de acuerdo al criterio adoptado, es suficiente para concluir la presencia del obstáculo en el alumno.

Cuadro 8

Valoración del obstáculo para cada alumno

	ALUMNOS																															%
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31
Obstáculo del Razonamiento Común	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	97%
1: se evidencia la presencia del obstáculo; 0: no se evidencia la presencia del obstáculo

Al observar en el cuadro Nº 8 la incidencia del obstáculo en forma global, se tiene que un 97% de los alumnos (todos excepto uno) evidencian su presencia en al menos una de sus dos modalidades (indicadores). De los 30 alumnos que acusan su presencia, 28 lo hacen para ambos indicadores y 2 para sólo el indicador Nº 2.

La persistencia del obstáculo. Un caso particular

Es interesante analizar por separado el caso del Alumno #3 quien fue el único que, de acuerdo con los criterios establecidos, no evidenció la presencia del obstáculo. Cuando, en la entrevista, se le solicitó justificar sus respuestas, dio argumentos muy sólidos para los ítems del grupo 1 y del grupo 4. Para el ítem 1a, por ejemplo, explicó que "Pudo ir a Europa sin ganarse el Kino, no necesariamente [se ganó el Kino]... pudo haber otra razón". Para el ítem 1c argumentó "Es lo mismo... el mismo caso anterior... [el caso 1a]", dejando clara la equivalencia lógica entre ambos planteamientos (recíproco y contrario). Los ítems 4b y 4c fueron respondidos también de manera correcta y esgrimió consistentemente similares argumentos. De lo anterior se desprende que el alumno tiene muy claro el error que significa utilizar, sin justificación, el recíproco o el contrario de una implicación, como clara tiene la equivalencia lógica entre ambos.

Sin embargo, sus respuestas 3a y 3c fueron erróneas y fueron ratificadas en la entrevista. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿cómo conciliar este hecho con argumentaciones tan sólidas como las anteriores? Parece plausible buscar las respuestas en las características mismas de los obstáculos: resisten contradicciones ocasionales y aun después de superados pueden manifestarse, incluso mucho tiempo después. Y es eso justamente lo que pareciera haber ocurrido: de alguna manera la "lógica" del razonamiento común, subyacente, no del todo erradicada, da la impresión de haber "traicionado" al alumno. En este sentido, lo anterior se corresponde con lo reportado por Sierpinska (1987), quien después de haber involucrado a seis alumnos en situaciones didácticas especialmente diseñadas con miras a superar obstáculos epistemológicos relacionados con el concepto de límite, reconoce finalmente que ninguno de los alumnos logró superar completamente ninguno de esos obstáculos.

El papel de los distractores

El cuadro Nº 9 muestra las valoraciones de los ítems de este obstáculo organizados por grupos de ítems e incluidos los distractores. Es interesante apreciar que para todos éstos la incidencia fue menor al 50%, lo cual demuestra que cumplieron su papel de brindarle al alumno alternancia en sus respuestas entre falsas y verdaderas.

Cuadro 9

Resultados de la aplicación del cuestionario

y la entrevista (incluye distractores)

Grupo 1			Grupo 2			Grupo 3			Grupo 4
ITEM	%		ITEM	%		ITEM	%		ITEM	%
1a	81 %		2a	6 %		3a	97 %		4a	3 %
1b	3 %		2b	39 %		3b	3 %		4b	94 %
1c	77 %		2c	13 %		3c	97 %		4c	90 %
1d	10 %		2d	45 %		3d	3 %		4d	0 %
		Ítems medidores						Ítems distractores

Nótense las acentuadas diferencias entre los ítems medidores y los distractores de un mismo grupo de preguntas. En el grupo 1, por ejemplo, los porcentajes para los ítems medidores (1a y 1c) fueron de 81% y 77% respectivamente, mientras que para los distractores (1b y 1d) fueron de 3% y 10%. Resultados similares pueden observarse para los grupos de ítems 3 y 4.

Comentario aparte merece, no obstante, el grupo de ítems 2. Como distractores que son, y tal y como era de esperarse, la incidencia de respuestas erradas para este grupo 2 estuvo por debajo del límite establecido (50%) para considerar un ítem como favorable hacia la presencia de un obstáculo. La mayor incidencia ocurrió para los ítems distractores 2b (39%) y 2d (45%) cuyo promedio (42%) sin embargo está muy por debajo del promedio de los ítems medidores (89%). Este hecho corrobora la característica dada para este obstáculo en el sentido de que cuando el alumno conoce de antemano la existencia de otras posibilidades que, además de la dada en la premisa, conducen por igual al consecuente, por lo general no comete el error; pero cuando ignora la existencia de otras posibilidades presume que tales posibilidades no existen y automáticamente cae en el error de validar injustificadamente el recíproco o el contrario de una implicación.

Llama sin embargo la atención la relativamente alta incidencia de los ítems 2b y 2d, tomando en cuenta que se trata de distractores. Es, sin embargo, en la naturaleza misma de este obstáculo que puede encontrarse la explicación. La concepción de considerar de manera automática como equivalentes el directo y el recíproco de una implicación, lo cual equivale a tratar un "si" condicional como si fuese un "si y sólo si", está tan arraigada en algunos alumnos que los lleva, aun en casos tan aparentemente claros y sencillos como los de este grupo de ítems, a cometer los mismos errores anteriormente referidos. Un ejemplo emblemático lo constituye el caso del Alumno #6, quien contestó errónea y afirmativamente ambos ítems como V, según lo cual, si alguien no nace en Barquisimeto entonces no es venezolano y si es venezolano entonces tuvo que haber nacido en Barquisimeto. Durante la entrevista, el alumno justificó tales respuestas esgrimiendo que "el planteamiento dice que sólo si nace en Barquisimeto es venezolana". Evidentemente —y así lo hizo saber cuando manifestó que si no fuera por el planteamiento dado habría respondido F en ambos ítems— él estaba consciente de que hay muchas otras opciones para ser venezolano, pero su apego a su concepción, su apego a tratar la condición dada como única, lo conduce a ignorar hechos evidentes.

Carácter epistemológico del obstáculo

Del análisis anteriormente efectuado, de acuerdo al cual se evidencia la presencia del obstáculo del razonamiento común en concordancia con las características para él establecidas anteriormente, y tomando en cuenta su altísima incidencia (97%) en los alumnos de la muestra, puede concluirse, extrapolando dichos resultados a la población, el carácter epistemológico de este obstáculo, por estar presente no en forma aislada sino de manera generalizada dentro de la población de estudiantes de Geometría de la Facultad de Ingeniería de LUZ.

6. CONCLUSIONES

A partir de los análisis cualitativo y cuantitativo efectuados se llegó a las siguientes conclusiones:

• El 97% de los alumnos de la muestra tiene la concepción de que es válido razonar en geometría de la misma forma que se hace usualmente dentro del contexto social diario, pues el 90% de ellos validó sin justificación recíprocos de implicaciones y el 97% validó sin justificación contrarios de implicaciones. La diferencia entre estos dos últimos porcentajes radica en que no siempre los alumnos están conscientes de la equivalencia lógica entre el contrario y el recíproco de una implicación. 
• Sólo uno de los 31 alumnos de la muestra evidenció haber superado el obstáculo, aunque no impidió ese hecho el que aflorara intempestivamente en un par de ítems del cuestionario, ratificando el carácter persistente de los obstáculos epistemológicos. 
• Los distractores utilizados en el cuestionario permitieron evidenciar una de las características dadas para este obstáculo: se manifiesta por lo general en situaciones para las cuales, dada la hipótesis o antecedente de una implicación, el individuo presume la unicidad de dicha hipótesis por desconocer la existencia de otras que conduzcan a la misma tesis o consecuente. 
• La alta incidencia registrada para este obstáculo permite concluir que su presencia se encuentra generalizada en la población, por lo cual puede caracterizarse como obstáculo epistemológico.

7. RECOMENDACIONES

• Llevar a cabo investigaciones en la misma área o en otras áreas de la matemática con el fin de identificar otros posibles obstáculos epistemológicos dentro de la población de alumnos del Departamento de Matemática de la Facultad de Ingeniería de La Universidad del Zulia. 
• Efectuar estudios de casos de carácter longitudinal que permitan conocer más detalladamente las características y la evolución que sufre el obstáculo del razonamiento común. 
• Llevar a cabo investigaciones tendientes a determinar las vinculaciones que existan entre el obstáculo epistemológico del razonamiento común y los errores de los alumnos en geometría. 
• Diseñar situaciones didácticas apropiadas que permitan a los alumnos percatarse de la presencia de este obstáculo e involucrarse en un proceso que eventualmente conduzca a su superación.

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